典型相关分析（Canonical Correlations）
摘要
Canonical Correlations(典型相关)程序旨在帮助识别两组变量之间的关联。这是通过找到两个集合中变量的线性组合来实现的，这两个集合表现出很强的相关性。具有最强相关性的线性组合对形成第一组典型变量。第二组典型变量是一对线性组合，在与第一组不相关的所有组合中，它们显示出次强的相关性。通常，少量的对可以用来量化两个集合之间存在的关系。
StatFolio：canonical.sgp
样本数据：文件93cars.sgd包含来自Lock (1993)的关于n = 93个汽车品牌和型号的26个变量的信息。下表显示了该文件中的部分数据列表：
变量将被分为两组。第一组p = 7变量表征了车辆的物理特性：
- Engine Size（发动机尺寸）
- Horsepower（马力）
- Length（长度）
- Wheelbase（轴距）
- Width（宽度）
- Rear seat（后排座椅）
- Weight（重量）
第二组q = 4的变量表征了汽车的价格和性能：
- Mid Price（中间价格）
- 1 / MPG Highway
- 1 / MPG City
- U Turn Space（U型转弯空间）
11个变量的矩阵图显示了所有变量之间一致的正相关性：
请注意，观察到的每加仑英里数已被重新表示为加仑每英里数，因此所有四个变量都将随着车辆的大小而增加。
数据输入
数据输入对话框请求包含两个集合中数据的列的名称：
- First Set of Variables（第一组变量）：较大集合中p变量的名称。
- Second Set of Variables（第二组变量）：较小集合中q变量的名称。
- Point Labels（点标签）：每个观测值的可选标签。
- Select：子集选择。
请注意，必须选择集合，使p ≥ q。
统计模型
典型相关过程的目标是构建具有最强相关性的两个集合中的变量的线性组合。第一组典型变量采用以下形式：
其中X和Y分别代表第一和第二组中变量的标准化值。第一组线性组合之间的相关性被称为第一典型相关，并表示为 ：
可以用类似的方式构造额外的q–1典型变量。q典型相关是通过确定的特征值来找到：
其中ρ's代表每个集合中变量之间以及集合之间的相关矩阵。典型变量的系数由特征向量导出。
分析总结
分析总结表如下所示：
表格顶部显示：
- Data variables（数据变量）：p+q输入列的名称。
- Number of complete cases（完整案例数）：没有遗漏任何观察结果的案例数n。
标记为Canonical Correlations（典型相关性）的输出部分列表显示：
- *Number：典型相关系数j的索引。
- Eigenvalue（特征值）：
 的特征值。
- Canonical Correlation：典型相关性。
- Wilk's Lambda：根据典型相关性统计量计算的统计量。
- Chi-Squared（卡方检验）：是一个检验统计量，用于检验编号为j及以上的所有典型相关性均等于0的假设。其计算公式为：
- D.F.：与卡方统计量相关的自由度（p-j+1）（q-j+1）。
- P-Value：观测卡方统计的单侧P值。小P值（如果在5%显著性水平下操作，则小于0.05）对应于典型相关性显著不同于零。
最后两张表格显示了在构建U和V的典型变量时的系数a和b。
在本例中，前3个典型相关具有统计学意义。幅度为0.94的第一相关性特别强。相关的典型相关性是：
其中变量被理解为通过减去它们的样本平均值并除以它们的样本标准偏差而被标准化。这似乎主要是车辆重量和城市驾驶中使用的每英里加仑数(GPM)之间的关系，Engine Size（发动机尺寸）、price（价格）和U型转弯所需的空间也有一定影响。
第二典型相关性也相当强，为0.70。X的标准变量是Engine Size（发动机尺寸）、Horsepower（马力）和Length（长度）与车辆Weight（重量）的对比。这种对比与在城市驾驶和公路驾驶中观察到的每加仑英里数之间的差异有关。
第三典型相关性等于0.68。X的标准变量是Horsepower（马力）和Wheelbase（轴距）与车辆Width（宽度）的对比。这与城市驾驶和U Turn Space（U型转弯空间）中车辆价格与GPM的对比类似。
数据表
“数据表”窗格显示n个观测值中每个观测值的典型变量值。该表的一部分如下所示：
列的顺序是U1, V1, U2, V2, …, Uq, Vq。
典型变量图
典型变量图显示所选典型变量集的n个值。
U在水平轴上绘制，而V在垂直轴上绘制。请注意第一个典型变量的相关性非常强。
Pane Options（窗格选项）
- Variable Number（变量编号）：指定1绘制第一组典型变量，指定2绘制第二组典型变量。直到最后一个集合q。
这个图的一个有趣的变化是，根据另一列（如车辆类型）对典型变量进行编码。
要生成上述图：
- 按下Save Results（保存结果）按钮并将Canonical Variables（典型变量）保存到数据表的新列中。
- 从顶部菜单中选择X-Y Plot程序，并从每一组输入第一个典型变量。
- 选择Analysis Options并在Point Codes字段中指定Type。
注意：按汽车类型分组。
保存结果
以下结果可能会保存到数据库中：
- Coefficients – First Set：q列，包含对应于X的典型变量的p系数a。
- Coefficients – Second Set：q列，包含对应于Y的典型变量的q系数b。
- Canonical Variables – First Set：q列，包含对应于X中n个观测值中每一个的典型变量U的值。
- Canonical Variables – Second Set：q列，包含对应于Y中n个观测值中每一个的典型变量V的值。
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